Ses théorèmes d'incomplétude montrent que tout système formel contient soit des propositions contradictoires (le système est incohérent), soit des propositions indécidables, c'est-à-dire en gros vraies ou fausses mais dont la vérité ou la fausseté sont non démontrables (le système est incomplet). En gros, il a montré qu'il pouvait produire dans un système formel (auquel on pouvait ramener tout autre système formel) une phrase qui dit "Je ne suis pas démontrable". Si elle est démontrable, alors elle est fausse et le système est incohérent, si elle n'est pas démontrable, elle est vraie mais le système est incomplet... Il y a au moins 30 ans, j'avais adoré la lecture de "Gödel Escher Bach, les Brins d'une Guirlande Eternelle" de Douglas Hofstadter.
Aîe! Y'a pas que les mathématiciens qui lui en veulent... J'ai cédé à la tentation du Hofstadter (Pulitzer interdisciplinaire, ça me parlait) mais j'ai dû lâcher. C'était lui ou le boulot ;)